mikromal – Sonderforschungsbereich 747 „Mikrokaltumformen“ der Universität Bremen

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Mikrokaltumformen?

Mehr als nur Gleichungen

Simulationsergebnis

Der Einsatz von moderner Mathematik in den Ingenieurswissenschaften

Durch den Einsatz von mathematischer Modellierung und numerischen Simulationen können tiefgehende Einblicke in physikalische Prozesse gewonnen und wesentliche Prozessschritte präzise vorhergesagt werden – gleichzeitig ermöglichen sie eine deutliche Steigerung der Effizienz und eine Senkung der Kosten.

Derzeit entwickeln Mathematiker am Zentrum für Technomathematik (ZeTeM) einen neuen Ansatz zur Behandlung von gekoppelten Phasenwechsel- und Strömungsproblemen.

Innerhalb des Sonderforschungsbereichs (SFB) 747 werden Prozesse und Methoden für das Umformen, Produzieren und Verarbeiten von metallischen Mikrobauteilen entwickelt. Ein Kernelement dieses SFBs ist das Teilprojekt A3 – Stoffanhäufen. Hier entstehen vordefinierte halbfertige Bauteile, die in anderen Projekten weiterverarbeitet werden.

Stoffanhäufen – lernen von der Natur

Der Stoffanhäufungsprozess nutzt die gebündelte Energie eines Laserstrahls um ein Werkstück, z. B. einen Draht, zu schmelzen. Dazu wird der Laserstrahl auf dessen Ende gerichtet, an dem ein Schmelzetropfen entsteht. Beim Stoffanhäufen ist man daran interessiert, einen (sehr großen) Schmelzetropfen zu erzeugen, der an dem Ausgangsmaterial hängen bleibt und nach Abschalten des Laserstrahls wieder erstarrt. Das so entstandene Erzeugnis nennt man „Zwischenform". Diese Zwischenform hat besondere Eigenschaften und kann nun in weiteren Prozessschritten umgeformt und verarbeitet werden. Die Besonderheit des Stoffanhäufungsprozess liegt in der Ausnutzung einer physikalischen Gesetzmäßigkeit, die nur in sehr kleinen Dimensionen gilt: Die Dominanz der Oberflächenspannung über die Schwerkraft. Man kennt dieses Prinzip beispielsweise von tropfenden Wasserhähnen: Das Wasser sammelt sich unterhalb des Hahns an und formt sich dabei zu einem runden Tropfen. Der Tropfen löst sich erst dann vom Hahn, wenn sein Volumen soweit zugenommen hat, dass der Einfluss der Schwerkraft größer ist, als die Rückhaltekraft der Oberflächenspannung. Beim Stoffanhäufungsprozess ist natürlich zu beachten, dass diese Grenze nicht überschritten wird, da man das Abtropfen der Schmelze unbedingt vermeiden möchte. Um den Stoffanhäufungsprozesses genau zu analysieren und um die experimentellen Untersuchungen zu unterstützen, wird der Prozess mit mathematischen Gleichungen modelliert und am Computer simuliert.

Vom Modell ...

Bei der Modellierung des Stoffanhäufungsprozesses müssen viele physikalische Effekte berücksichtigt werden. Insbesondere sind hier die Wärmetransportmechanismen wie die Wärmeleitung zu nennen. Zusätzlich verkompliziert sich das Modell durch die zu berücksichtigende Wechselwirkung zwischen der Phasengrenze, der Dynamik in der Schmelze und deren Oberfläche. Formell gesprochen muss das Stefan-Problem  (beschreibt die Phasenwechsel) mit den Navier-Stokes-Gleichungen (beschreibt die Strömungsdynamik) und der kapillaren Oberfläche gekoppelt werden. Um die genannten Effekte und Problemstellungen mit mathematischen Formeln ausdrücken zu können, werden sogenannte partielle Differentialgleichungen verwendet. Dies sind Gleichungen für eine Funktion, die die Ableitung der Funktion in Richtung ihrer Variablen enthalten. Das so aufgestellte Modell bildet die Grundlage einer numerischen Simulation.

... zur Simulation

Für die numerische Simulation des Stoffanhäufens wird eine Finite-Elemente-Methode (FEM)  eingesetzt. Die FEM ist ein computergestütztes Verfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen. Dazu wird das Rechengebiet durch ein Gitter in kleine Elemente unterteilt – man spricht von einer Ortsdiskretisierung - auf denen sogenannte Ansatzfunktionen definiert werden. Diese stellen die Freiheitsgrade der Rechnung dar und werden in das aufgestellte Modell eingesetzt. Da der Stoffanhäufungsprozess zeitabhängig ist, wird zusätzlich zur Orts- auch eine Zeitdiskretisierung vorgenommen. Besonderes Augenmerk muss hierbei auf die erwähnte Kopplung von Phasenwechsel- und Strömungsproblem gelegt werden. Insgesamt ergibt sich bei diesem Ansatz für jeden Zeitschritt ein (sehr großes) Gleichungssystem, dass mit effizienten numerischen Methoden gelöst wird, die zum Teil extra für dieses Problem entwickelt wurden.

Bessere Ergebnisse - geringere Kosten

Durch den Einsatz der entwickelten Simulation können Aspekte des Prozesses untersucht werden, deren Beobachtung oder Messung sich während der Experimente als sehr schwierig oder sogar unmöglich erwiesen hat. Beispielsweise kann durch die Analyse und Quantifizierung der Prozesseinflussgrößen mithilfe der Simulation eine deutliche Effizienzsteigerung des Prozesses erreicht werden. Dazu werden unterschiedliche Prozessparameter am Computer getestet und verglichen. Auch der Einsatz von mathematischen Optimierungsansätzen und –algorithmen ist möglich, um bei vorgegebenen Rahmenbedingungen bestmögliche Ergebnisse zu erzielen. Zusätzlich können durch den Einsatz von Simulationen die entstehenden Kosten durch z. B. verringerten Materialverbrauch deutlich reduziert werden, da viele Hypothesen am Rechner überprüft werden können und basierend auf den numerischen Ergebnissen eine Vorauswahl für die experimentellen Versuchsreihen getroffen werden kann.

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